本文介绍几种常见的数据结构:栈、队列、堆、哈希表，等等。
写在前面
- 本文所有图片均截图自coursera上普林斯顿的课程《Algorithms, Part I》中的Slides
- 相关命题的证明可参考《算法（第4版）》
- 源码可在官网下载,也可以在我的github仓库 algorithms-learning下载，已经使用maven构建
- 仓库下载：
git clone git@github.com:brianway/algorithms-learning.git
Stacks(栈)
LIFO(后进先出):last in first out.
- 使用linked-list实现
保存指向第一个节点的指针，每次从前面插入／删除节点。
以字符串栈为例，示例代码：
public class LinkedStackOfStrings {
private Node first = null;
private class Node {
String item;
Node next;
}
public boolean isEmpty() {
return first == null;
}
public void push(String item) {
Node oldfirst = first;
first = new Node();
first.item = item;
first.next = oldfirst;
}
public String pop() {
String item = first.item;
first = first.next;
return item;
}
}
- 使用数组实现
使用数组来存储栈中的项
public class FixedCapacityStackOfStrings {
private String[] s;
private int N = 0;
public FixedCapacityStackOfStrings(int capacity) {
s = new String[capacity];
}
public boolean isEmpty() {
return N == 0;
}
public void push(String item) {
s[N++] = item;
}
public String pop() {
String item = s[--N];
s[N] = null;
return item;
}
}
上面的实现会有几个问题：
- 从空栈pop会抛出异常
- 插入元素过多会超出数组上界
这里重点解决第二个问题，resizing arrays.一个可行的方案是: 当数组满的时候，数组大小加倍；当数组是1/4满的时候，数组大小减半。 这里不是在数组半满时削减size,这样可以避免数组在将满未满的临界点多次push-pop-push-pop操作造成大量的数组拷贝操作。
插入N个元素，N + (2 + 4 + 8 + ... + N) ~ 3N。
- N:1 array access per push
- (2 + 4 + 8 + … + N):k array accesses to double to size k (ignoring cost to create new array)
由于resize操作不是经常发生，所以均摊下来，平均每次push/pop操作的还是常量时间(constant amortized time).
Queues(队列)
FIFO(先进先出):first in first out.
- 使用linked-list实现
保存指向首尾节点的指针，每次从链表尾插入，从链表头删除。
public class LinkedQueueOfStrings {
private Node first, last;
private class Node {
/* same as in StackOfStrings */
}
public boolean isEmpty() {
return first == null;
}
public void enqueue(String item) {
Node oldlast = last;
last = new Node();
last.item = item;
last.next = null;
if (isEmpty()) {
first = last;
} else {
oldlast.next = last;
}
}
public String dequeue() {
String item = first.item;
first = first.next;
if (isEmpty()) last = null;
return item;
}
}
- 使用数组实现
・Use array q[] to store items in queue.
・enqueue(): add new item at q[tail].
・dequeue(): remove item from q[head].
・Update head and tail modulo the capacity.
・Add resizing array.
Priority Queues
Collections. Insert and delete items.
- Stack. Remove the item most recently added.
- Queue. Remove the item least recently added. Randomized queue. Remove a random item.
- Priority queue. Remove the largest (or smallest) item.
unordered array 实现
public class UnorderedMaxPQ<Key extends Comparable<Key>> {
private Key[] pq; // pq[i] = ith element on pq
private int N; // number of elements on pq
public UnorderedMaxPQ(int capacity) {
pq = (Key[]) new Comparable[capacity];
}
public boolean isEmpty() {
return N == 0;
}
public void insert(Key x) {
pq[N++] = x;
}
public Key delMax() {
int max = 0;
for (int i = 1; i < N; i++)
if (less(max, i)) max = i;
exch(max, N - 1);
return pq[--N];
}
}
Binary Heaps(二叉堆)
使用数组来表示一个二叉堆。根节点索引从1开始。索引对应在树中的位置，最大的键值是a[1],同时也是二叉树的根节点。
- Parent’s key no smaller than children’s keys
- Indices start at 1.
- Parent of node at k is at k/2.
- Children of node at k are at 2k and 2k+1.
上浮和下沉
有两种情况会触发节点移动：
- 子节点的键值变为比父节点大
- 父节点的键值变为比子节点（一个或两个）小
而 要消除这种违反最大堆定义的结构，就需要进行节点移动和交换， 使之满足父节点键值不小于两个子节点 。对应的操作分别是 上浮 和 下沉
- 上浮：子节点key比父节点大
- Exchange key in child with key in parent.
- Repeat until heap order restored.
- 下沉：父节点key比子节点（one or both）小
- Exchange key in parent with key in larger child.
- Repeat until heap order restored
/* 上浮 */
private void swim(int k) {
while (k > 1 && less(k / 2, k)) {
exch(k, k / 2);
k = k / 2;
}
}
/* 下沉 */
private void sink(int k) {
while (2 * k <= N) {
int j = 2 * k;
if (j < N && less(j, j + 1)) j++;
if (!less(k, j)) break;
exch(k, j);
k = j;
}
}
插入和删除
所有操作（插入和删除）都保证在log N 时间内。
- 插入：二叉堆的插入操作比较简单，把节点加在数组尾部，然后上浮即可。
- 删除最大：二叉堆的删除则是把根节点和末尾的节点交换，然后下沉该节点即可。
/* 插入 */
public void insert(Key x){
pq[++N] = x;
swim(N);
}
/* 删除 */
public Key delMax(){
Key max = pq[1];
exch(1, N--);
sink(1);
pq[N+1]=null;
return max;
}
最后，堆中的键值是不能变的，即Immutable.不然就不能保证父节点不小于子节点。
Symbol Tables
键值对的抽象.其中键一般使用immutable的类型，值是任何普通类型。
关于比较，所有的java类都继承了equals()方法，要求对于引用x,y,z
- Reflexive: x.equals(x) is true.
- Symmetric: x.equals(y) iff y.equals(x).
- Transitive: if x.equals(y) and y.equals(z), then x.equals(z).
- Non-null: x.equals(null) is false.
对于用户自定义的类型，一般按如下流程实现equals()方法:
- Optimization for reference equality.
- Check against null.
- Check that two objects are of the same type and cast.
- Compare each significant field:
- if field is a primitive type, use ==
- if field is an object, use equals().[apply rule recursively]
- if field is an array, apply to each entry.[alternatively, use Arrays.equals(a, b) or Arrays.deepEquals(a, b),but not a.equals(b)]
两种实现的数据结构：
- 无序链表：Maintain an (unordered) linked list of key-value pairs.
- 有序数组：Maintain an ordered array of key-value pairs.
在有序数组进行查找时使用二分查找。两种方式的对比如下图：
Hash Tables(哈希表)
上面几种数据结构都是通过遍历或者二分查找去搜寻某个元素，而哈希表则是通过一个key-indexed table来存储其中的项，即“索引”是“键”的一个函数。换句话说，哈希是通过定义一种函数/计算方法，把键直接映射成一个哈希值（再通过取余操作换算成数组的下标索引），从而定位元素，而避免耗时的逐个比较和遍历的操作。
- Hash code:An int between -2^31 and 2^31 - 1.
- Hash function. An int between 0 and M - 1 (for use as array index).
//这里hashCode可能为负，且-2^31取绝对值会溢出，所以要“位与”
private int hash(Key key){
return (key.hashCode() & 0x7fffffff) % M;
}
所有的java类均继承了hashCode()方法来计算哈希值, 返回一个32-bit的int.默认实现是返回该对象的内存地址。对常用的类型有自己的实现，以java的String类为例子：
public int hashCode() {
int h = hash;
if (h == 0 && value.length > 0) {
char val[] = value;
for (int i = 0; i < value.length; i++) {
h = 31 * h + val[i];
}
hash = h;
}
return h;
}
hash code design.”Standard” recipe for user-defined types：
- Combine each significant field using the 31x + y rule.
- If field is a primitive type, use wrapper type hashCode().
- If field is null, return 0.
- If field is a reference type, use hashCode().[applies rule recursively]
- If field is an array, apply to each entry.[or use Arrays.deepHashCode()]
当然，这种映射并不能保证是一对一的，所以一定会出现多个键映射到同一个哈希值的尴尬情况（尤其是对数组的size取余操作后,映射到同一数组下标），即哈希冲突，这是就需要一些方法来解决。这里介绍两种常用的方法：
- separate chaining
- linear probing
separate chaining
Use an array of M < N linked lists.
- 哈希：将key映射到0 ~ M-1 之间的一个整数i
- 插入：将值插在第i个链的前端
- 查找：只需遍历第i个链
linear probing
开放地址：如果发生冲突，将值放入下一个空的位置.(数组尺寸 M 必须比键值对的数目 N 要多.)
- 哈希：将key映射到 0 ~ M-1 之间的一个整数i
- 插入：如果数组索引为 i 的位置为空，则把值放入，否则依次尝试 i+1,i+2等索引，直到有空的
- 查找：先找索引 i，如果被占用且没匹配，则依次尝试i+1, i+2,等等
